Diffrazione di Maekawa

Una barriera acustica non azzera il rumore: lo riduce. La ragione fisica è la diffrazione — il fenomeno per cui un’onda piega intorno a un ostacolo invece di essere completamente bloccata. Questo strumento dell’Open Lab isola in forma didattica il calcolo della diffrazione su un singolo bordo, mostrando come l’attenuazione dipenda dalla geometria e dalla frequenza, e confrontando sulla stessa configurazione i tre metodi di calcolo offerti dal Calcolo barriere.

La geometria del problema

Il modello considera una sorgente S, un bordo diffrangente (la cima della barriera) e un ricevitore R. Il suono che raggiunge R passando sopra il bordo percorre un cammino più lungo del cammino diretto S→R. Questa differenza di cammino δ è la grandezza chiave:

$$\delta =\sqrt{d_s^2+h^2}+\sqrt{d_r^2+h^2}-(d_s+d_r)$$

dove h è l’eccedenza del bordo sopra la linea di vista sorgente-ricevitore e d_s, d_r sono le distanze dalle proiezioni di S e R su quella stessa linea. Va detto il dominio: questa forma simmetrica, con lo stesso h nei due radicali, vale per la geometria ridotta in cui S e R sono riportati a una linea di riferimento comune — ed è quella che l’explorer costruisce. In una geometria generale, con S e R a quote qualsiasi, si usano i cammini geometrici effettivi: δ = d(S,E) + d(E,R) − d(S,R), che non si riduce necessariamente a questa espressione.

Un’avvertenza sul segno, perché nella formula h compare al quadrato: δ(+h) = δ(−h), quindi la formula da sé non distingue un bordo che scherma da uno che sta sotto la linea di vista. La condizione «bordo sotto la linea di vista → nessuna attenuazione» è una regola logica applicata prima della formula, non una sua conseguenza: l’explorer lavora con h positivo e ricostruisce direttamente la geometria schermata.

Il numero di Fresnel

La differenza di cammino, da sola, non basta: ciò che conta è il suo rapporto con la lunghezza d’onda del suono. Da qui il numero di Fresnel N, parametro adimensionale:

$$\lambda =\frac{c}{f}(c=343\text{m/s},20°\text{C})N=\frac{2\delta }{\lambda }$$

N esprime quante mezze-lunghezze-d’onda di cammino aggiuntivo l’onda deve percorrere passando sopra la barriera. Più N è grande, più l’attenuazione è efficace. Questo spiega un fatto controintuitivo ma fondamentale dell’acustica: una barriera è molto più efficace alle alte frequenze (λ piccola → N grande) che alle basse (λ grande → N piccolo). L’efficacia alle basse resta comunque tutt’altro che nulla — la tabella qui sotto dà 7,1 dB a 63 Hz, che non è un effetto trascurabile: è significativamente inferiore, non assente. Il rombo grave di un camion penetra dietro una barriera molto più del sibilo acuto dei pneumatici.

La formula di Maekawa

Nel 1968 Z. Maekawa pubblicò, a partire da misure sistematiche su schermi, la relazione fra numero di Fresnel e attenuazione di un bordo singolo — nella forma di una curva sperimentale, non di un’espressione analitica. La formula usata dallo strumento è l’approssimazione analitica di quella curva entrata nell’uso comune (parametrizzazione attribuita a Tatge):

$$A=10{\log }_{10}(3+20N)$$

È la curva tracciata nel grafico Att(N) dell’explorer: cresce rapidamente per i primi valori di N, poi rallenta — ma non satura da sola. La funzione non ha alcun tetto: con N = 100 darebbe circa 33 dB. Il limite di 25 dB è un clamp dell’implementazione, allineato al cap che la ISO 9613-2 pone al proprio termine di diffrazione multipla, e va letto come tale.

Attenzione a non attribuirgli un significato fisico che non ha: non esiste una legge per cui l’insertion loss di una barriera non possa superare 25 dB. L’efficacia reale è limitata da diffrazione laterale, trasmissione attraverso il pannello, riflessioni, lunghezza finita, terreno, spettro e meteorologia — nessuno dei quali fissa una soglia a quel valore preciso. E i cap della ISO (20 dB bordo singolo, 25 dB multiplo) limitano il termine D_z, non l’attenuazione complessiva della barriera.

Un esempio: la stessa barriera, otto bande

Consideriamo una sorgente a d_s = 10 m dalla barriera, un ricevitore a d_r = 20 m dall’altro lato, e un bordo che eccede di h = 2 m la linea di vista. La differenza di cammino vale:

$$\delta =\sqrt{10^2+2^2}+\sqrt{20^2+2^2}-30\approx 0,30\text{m}$$

La geometria è fissa, ma l’attenuazione cambia con la frequenza perché cambia λ — e quindi N. Con la formula di Maekawa:

La stessa barriera, con la stessa geometria, taglia 7,1 dB a 63 Hz e 24,5 dB a 8 kHz: diciassette decibel di differenza fra i due estremi dello spettro. La colonna δ/λ dice perché: a 63 Hz la differenza di cammino vale un ventesimo di lunghezza d’onda — l’onda non si accorge dell’ostacolo — mentre a 8 kHz ne vale sette. È il motivo per cui, dietro una barriera autostradale, di un veicolo si continua a sentire soprattutto il rombo grave del motore e poco il sibilo acuto dei pneumatici. La conseguenza progettuale è che una barriera dimensionata su un livello globale in dB(A) può risultare deludente se lo spettro della sorgente è spostato in basso.

Quanto serve alzare la barriera

La domanda che arriva subito dopo il primo calcolo è: quanto devo alzarla per guadagnare qualche decibel? La risposta non è lineare, perché δ cresce meno che proporzionalmente con h. Sulla stessa geometria (d_s = 10 m, d_r = 20 m, 500 Hz):

L’ultima colonna dà circa 5 dB per ogni raddoppio dell’altezza utile nell’intervallo mostrato — ed è un intervallo, non una regola. Il valore cresce (2,6, 4,4, 5,4, 5,6 dB) verso un asintoto calcolabile: per h piccolo rispetto alle distanze δ ≈ (h²/2)(1/d_s + 1/d_r), quindi δ va come h² e raddoppiando h il numero di Fresnel quadruplica; nel regime in cui il termine 20N domina il 3 della formula il guadagno tende a 10·log₁₀(4) = 6,02 dB per raddoppio. Sotto quel regime è minore, sopra interviene il clamp. Girata dal punto di vista del committente: partendo da h = 2 m, per guadagnare 5 dB servono 3,8 m, cioè quasi il doppio. È l’aritmetica che rende le barriere alte così costose, e che spinge verso soluzioni diverse — avvicinare la barriera alla sorgente, oppure lavorare sulla sorgente stessa.

Attenzione a cosa significa «h utile»: è l’eccedenza sopra la linea di vista, non l’altezza della barriera da terra. Con sorgente e ricevitore entrambi in quota, una barriera da 4 m può avere un’eccedenza utile di un metro.

Il ricevitore vicino è più protetto di quello lontano

Un risultato controintuitivo, e la ragione per cui conviene calcolare invece di ragionare a intuito. Fissando la barriera (h = 2 m) e la sorgente (d_s = 10 m), e allontanando solo il ricevitore:

Passando da 5 a 80 m dietro la barriera, l’attenuazione prodotta dalla barriera cala di 3,7 dB. La ragione geometrica è che allontanando R il cammino sopra il bordo somiglia sempre più a quello diretto, quindi δ diminuisce — ma non tende a zero, come si potrebbe pensare. Per d_r → ∞ il termine √(d_r²+h²) − d_r si annulla e resta δ → √(d_s²+h²) − d_s, che in questa geometria vale 0,198 m: l’attenuazione tende a un asintoto di circa 11,6 dB a 500 Hz, non a zero. La colonna dei valori lo mostra: da 40 a 80 m cala di soli 0,4 dB. Fisicamente il ricevitore lontano sta comunque meglio, perché guadagna divergenza geometrica — ma il merito della barriera diminuisce. Leggendo una mappa di insertion loss: la fascia di massima efficacia è quella immediatamente a valle, non il campo lontano.

I cinque metodi a confronto

L’explorer condivide il motore di calcolo (@lib/physics) con il Calcolo barriere e la Mappa acustica, e applica alla stessa geometria tre formulazioni:

• ISO 9613-2:2024 — l’edizione vigente, default del Calcolo barriere: Dz = 10·log₁₀[1 + (2 + (C₂/λ)·C₃·z)·Kmet], con una soglia z_min sotto la quale l’attenuazione è nulla e una correzione meteorologica Kmet; cap 20 dB per bordo singolo.
• Modalità legacy 1996 — basata sulla formulazione dell’edizione precedente: Dz = 10·log₁₀(3 + (C₂/λ)·C₃·z·Kmet); cap 20 dB. Va chiamata legacy e non «ISO 9613-2:1996»: il codice dichiara di omettere un termine del Kmet canonico, ed è mantenuta invariata per conservare la comparabilità coi risultati storici del tool. Serve a confrontare versioni dello strumento, non le due edizioni della norma.
• CNOSSOS-EU:2015 — il metodo comune europeo (Direttiva (UE) 2015/996, Allegato II §VI.4.4.b): Δ_dif = 10·log₁₀(3 + (40/λ)·C″·δ), con la soglia (40/λ)·C″·δ ≥ −2 sotto la quale l’attenuazione è nulla, C″ = 1 sul bordo singolo, cap 25 dB. Non è una variante delle ISO: il coefficiente è 40/λ e non 20/λ, non c’è il fattore K_met, e le condizioni di propagazione sono due — omogenee, con raggi rettilinei, e favorevoli, con raggi ad arco di raggio Γ = max(1000, 8·d). Nelle favorevoli il raggio scavalca il bordo più in alto, δ si riduce e la barriera rende meno: è il motivo per cui una barriera è meno efficace sottovento, e nel modello viene dalla geometria e non da un termine correttivo.
• Maekawa 1968 — la formula storica empirica descritta sopra; cap 25 dB, nessuna correzione meteorologica.

Fra CNOSSOS e Maekawa c’è una coincidenza che conviene sapere prima di leggerla come un errore: sul bordo singolo, in condizioni omogenee, i due danno lo stesso numero, perché 3 + 20·N e 3 + 40δ/λ sono la stessa espressione scritta con N = 2δ/λ. Si separano quando i bordi sono due, dove entra C″, e in condizioni favorevoli.

Le formule complete, con le costanti C₂/C₃ e la definizione di Kmet, sono documentate nella sezione «Formule diffrazione» del Calcolo barriere. Sul comportamento a linea di vista libera va fatta una precisazione, perché i tre metodi non sono equivalenti. Maekawa e la 1996 danno 0 dB per N ≤ 0. La ISO 9613-2:2024 no: pone D_z = 0 solo per z ≤ z_min, con z_min = −2λ/(C₂C₃) negativo, e assegna segno negativo al path difference quando la linea di vista passa sopra il bordo. Esiste quindi una fascia z_min < z < 0 in cui la linea di vista è libera e l’attenuazione è ancora positiva — serve a evitare una discontinuità artificiale sul limite della zona d’ombra. Questo strumento non la percorre: la geometria a monte produce solo δ ≥ 0 e il dispatcher tronca δ ≤ 0 a zero. È una semplificazione dell’explorer, non un comportamento della norma, e per implementarla servirebbe un path difference firmato in tutta la catena di calcolo.

I tetti diversi contano, ma va detto con precisione cosa limitano. Il clamp Maekawa dell’implementazione sta a 25 dB, il cap ISO a 20 dB per bordo singolo: nelle geometrie che saturano — barriere alte, alte frequenze — il termine di diffrazione Maekawa arriva quindi 5 dB più in alto. Nella tabella dello spettro qui sopra la banda a 8 kHz tocca 24,5 dB con Maekawa, mentre con l’ISO si fermerebbe a 20.

Quei 5 dB, però, sono la distanza fra due termini saturati, non fra due previsioni: non se ne può dedurre che una previsione ISO e una Maekawa differiscano di 5 dB. Serve anche tenere separate tre grandezze che questa pagina, essendo un explorer del solo termine geometrico, confronta in forma grezza: D_z è il termine di diffrazione; A_bar è l’attenuazione della barriera, che per la diffrazione sopra il bordo con A_gr > 0 vale D_z − A_gr (§7.4); l’insertion loss è la differenza fra i livelli con e senza barriera, e include l’effetto suolo, gli eventuali cammini laterali combinati col §7.4.4 e la somma energetica sullo spettro. Il Calcolo barriere lavora su A_bar e IL; qui si guarda D_z. Su un livello globale in dB(A), dove le bande alte pesano, la scelta del metodo si vede nel risultato.

Termini

Diffrazione — il piegamento di un’onda intorno a un ostacolo; la ragione per cui dietro una barriera si ode comunque del suono. Knife-edge — modello idealizzato di bordo infinitamente sottile. È una buona approssimazione per una barriera relativamente sottile, lunga, a bordo semplice; lo è molto meno per barriere spesse, dune e rilevati, cappelli a T o a Y, profili cilindrici o bordi assorbenti, che si progettano proprio per fare meglio di un knife-edge. Numero di Fresnel — il parametro adimensionale che lega differenza di cammino e lunghezza d’onda.

Limiti del modello

• Uno o due bordi. L’explorer risolve la diffrazione singola e quella doppia, quest’ultima con la distanza e fra i bordi — da cui C₃ e C″ — e il cap a 25 dB. Nel conto entrano solo i bordi che sporgono davvero: se una barriera resta sotto la corda che unisce la sorgente alla cima dell’altra, il suo tratto non va sommato, altrimenti si gonfia la differenza di cammino e con essa l’attenuazione. Geometrie con più di due bordi, o edifici, restano fuori; così la diffrazione laterale attorno ai fianchi, che la ISO 9613-2:2024 tratta al §7.4.3 e che nel Calcolo barriere è implementata.
• Sorgente puntuale. Per sorgenti lineari estese (strade, ferrovie) la geometria δ varia lungo la sorgente.
• Atmosfera quiescente per Maekawa, che non ha correzione meteorologica: gradienti di vento e temperatura possono ridurre l’attenuazione effettiva di diversi dB nel campo lontano. Non vale per la ISO 2024, che il Kmet lo ha, e che anzi è impostata su condizioni favorevoli alla propagazione (sottovento o inversione equivalente): i tre metodi non condividono la stessa ipotesi atmosferica, e vederli sulla stessa curva è comodo ma non li rende omogenei.
• Si considera la sola diffrazione attorno alla cima; la trasmissione attraverso il pannello è trascurata. Quanto sia lecito trascurarla dipende dalla prestazione del dispositivo, che per le barriere stradali si caratterizza con la serie EN 1793 (isolamento per via aerea, assorbimento, diffrazione intrinseca) e non con l’R_w, grandezza tipica degli elementi edilizi: una barriera geometrica da 3 m e una barriera reale da 3 m non sono la stessa cosa.
• L’ostacolo si assume già idoneo a essere trattato come schermo. La ISO 9613-2 pone requisiti perché un oggetto sia schermante — massa superficiale sufficiente, superficie sostanzialmente chiusa senza fessure o aperture rilevanti, estensione adeguata rispetto alla lunghezza d’onda. Questo explorer è puramente geometrico e non li verifica: dà il termine di diffrazione di un bordo, dato per assunto che il bordo appartenga a qualcosa che scherma.

Strumento dimostrativo: non sostituisce una valutazione professionale. Da notare che «software certificato» non è una categoria prevista dalla normativa italiana per questi calcoli: ciò che conta è che il modello sia adeguato alla metodologia richiesta e verificabile, e che dell’attività risponda un tecnico competente.

Riferimenti normativi e scientifici

• ISO 9613-2:2024 — Attenuation of sound during propagation outdoors, §7.4.1 (screening). Edizione vigente, default del Calcolo barriere.
• ISO 9613-2:1996 — edizione precedente, §7.4; disponibile come modalità di confronto.
• ISO 9613-2:2024/DAmd 1 — emendamento in bozza, in votazione DIS: riporta D_z e K_met alla forma del 1996 e lascia in piedi z_min, la diffrazione laterale e i limiti. Non è implementato — una bozza non entra in un motore di calcolo — e le formule affiancate stanno in ISO 9613-2:2024/DAmd 1: la diffrazione torna al 1996.
• Maekawa, Z. (1968) — «Noise Reduction by Screens», Applied Acoustics, vol. 1, pp. 157-173. DOI 10.1016/0003-682X(68)90020-0.
• Direttiva (UE) 2015/996 — metodi comuni di determinazione del rumore (CNOSSOS-EU), Allegato II §VI.4.4.b: diffrazione, condizioni omogenee e favorevoli. Testo su EUR-Lex.

Cosa mette in mano lo strumento

La geometria si dà in quote assolute dal piano di campagna — sorgente, barriera e ricevitore — più le distanze orizzontali: è come si misura in campo, ed è la forma in cui la chiede la ISO 9613-2. L’eccedenza h del bordo sopra la linea sorgente-ricevitore, che è il parametro della formulazione classica, non è un dato da inserire ma un risultato, insieme a δ e a N.

La sezione è disegnata in scala, con assi numerati: la scala orizzontale la decide solo la distanza sorgente-ricevitore, e cambiare un’altezza non la muove; quella verticale sale a scatti su valori tondi, il primo che stia due metri sopra l’elemento più alto. Sorgente, cime delle barriere e ricevitore si trascinano nel disegno.

Il modo multi-banda mostra le otto bande d’ottava insieme per tutti i metodi, e in fondo l’insertion loss ponderato A su uno spettro di sorgente scelto fra sei preset: è il numero con cui si dimensiona una barriera, e non è la media dei dB in tabella. Non si calcola un livello al ricevitore: qui c’è il solo termine di diffrazione, e un Lp senza divergenza, terreno e assorbimento d’aria sarebbe sbagliato — quel conto lo fa il Calcolo barriere.

I risultati escono come testo negli appunti o come immagine PNG, con il disegno e il riassunto numerico composti dagli stessi valori.

Il tool è disponibile come strumento eseguibile su /tools/maekawa/.