Incertezza di misura secondo la GUM

Nessuna misura è esatta: ogni valore va accompagnato da una stima della sua incertezza. La GUM — Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (JCGM 100:2008) — è la guida internazionale che standardizza il modo di stimarla ed esprimerla. Questa pagina riassume il procedimento che lo strumento mette in pratica: elencare i contributi, convertirli in incertezza standard, combinarli ed estenderli con un fattore di copertura.

La GUM in breve

L’incertezza di una misura è la quantificazione del dubbio sul valore. Il procedimento GUM è sempre lo stesso, qualunque sia la misura:

1. si identifica il misurando e, se serve, un modello y = f(x₁, …, xₙ) che lega le grandezze d’ingresso al risultato;
2. si elencano tutte le sorgenti d’incertezza e si valuta ciascuna come incertezza standard uᵢ, nella stessa unità del misurando;
3. si combinano le uᵢ nell’incertezza tipo composta u_c;
4. si moltiplica per un fattore di copertura k per ottenere l’incertezza estesa U, che definisce un intervallo con un livello di confidenza dichiarato.

Il risultato si esprime come y ± U, dichiarando sempre il k usato.

Incertezza di tipo A e di tipo B

La GUM distingue due modi di valutare un contributo, non due nature diverse di incertezza:

• Tipo A — valutazione statistica da una serie di osservazioni ripetute. L’esempio canonico è la deviazione standard della media di n letture, σ/√n. Si stima dai dati raccolti.
• Tipo B — valutazione da ogni altra informazione disponibile: un certificato di taratura, la risoluzione dello strumento, le specifiche del costruttore, l’esperienza o un manuale. Si assume una distribuzione di probabilità e da questa si ricava l’incertezza standard.

Punto chiave: una volta che entrambi i tipi sono stati convertiti in un’incertezza standard uᵢ, si trattano allo stesso modo. La distinzione A/B non cambia la combinazione, serve a documentare l’origine di ciascun contributo.

Distribuzioni e divisori

Per i contributi di tipo B si parte tipicamente da una semi-ampiezza a (metà dell’intervallo entro cui si assume cada il valore) e si assume una forma di distribuzione. L’incertezza standard è la semi-ampiezza divisa per un divisore caratteristico della forma:

$$u=\frac{a}{\text{divisore}},\begin{array}{ll}\text{rettangolare:}& \text{divisore}=\sqrt{3}\\ \text{triangolare:}& \text{divisore}=\sqrt{6}\\ \text{normale:}& \text{divisore}=1(\text{oppure }k\text{ del certificato})\end{array}$$

• Rettangolare (uniforme) — ogni valore nell’intervallo è ugualmente probabile, niente concentrazione attorno al centro. È il caso tipico della risoluzione di un display, dei limiti di specifica, della quantizzazione. Divisore √3.
• Triangolare — i valori centrali sono più probabili degli estremi (ad esempio dalla somma di due contributi uniformi). Divisore √6.
• Normale (gaussiana) — il valore fornito è già un’incertezza standard, quindi divisore 1. Se invece proviene da un certificato di taratura che dichiara un’incertezza estesa U con il suo k, l’incertezza standard si recupera dividendo per quel k (divisore = k del certificato).

Coefficiente di sensibilità

Quando una grandezza d’ingresso non è direttamente il misurando ma vi entra attraverso il modello y = f(x₁, …, xₙ), il suo contributo va pesato dal coefficiente di sensibilità:

$$c_i=\frac{\partial f}{\partial x_i},u_i=\frac{a_i}{\text{divisore}}\cdot c_i$$

Il coefficiente cᵢ converte l’incertezza dell’ingresso xᵢ nell’incertezza che essa produce sul misurando y (cambia anche le unità, se diverse). Per una grandezza che è il misurando stesso, c = 1.

Combinazione in quadratura

Assunte indipendenti le grandezze d’ingresso (covarianze nulle), le incertezze standard si combinano come radice della somma dei quadrati — la legge di propagazione GUM senza i termini di correlazione. Il risultato è l’incertezza tipo composta:

$$u_c=\sqrt{\sum _i{u}_i^2}$$

Una conseguenza pratica importante: poiché i contributi si sommano in quadratura, i termini più piccoli pesano pochissimo. Quanto poco, in cifre — è il dato che decide dove si spende il tempo:

La colonna a destra è la più istruttiva, perché risponde alla domanda che si pone davvero: se eliminassi questo contributo del tutto, quanto guadagnerei? Una sorgente che vale un terzo della maggiore pesa il 10 % della varianza, e azzerarla — non ridurla, azzerarla — fa scendere u_c del 5 %. Una che vale un decimo fa guadagnare mezzo punto percentuale.

Da qui la regola operativa: si aggredisce la sorgente più grande, e ci si ferma quando i primi due contributi sono comparabili. Rifinire il terzo, quando il primo lo domina di tre volte, è lavoro che non si vede nel risultato.

Budget d’incertezza

Il budget d’incertezza è la tabella che mette in fila tutti i contributi con la loro incertezza standard uᵢ e il loro peso percentuale sulla varianza:

$${\text{peso}}_i=\frac{u_i^2}{{\sum }_j{u}_j^2}\times 100\%$$

È lo strumento diagnostico del metrologo: dice a colpo d’occhio quali sorgenti dominano e dove conviene intervenire per ridurre l’incertezza (migliorare la taratura, aumentare le ripetizioni, scegliere uno strumento a risoluzione più fine). Lo strumento web disegna questo budget come barre orizzontali ordinate per contributo decrescente.

Un esempio

Misura di una resistenza con un multimetro, tre contributi:

• ripetibilità (tipo A, da 10 letture): u₁ = 0,020 Ω
• risoluzione del display (tipo B, rettangolare, semi-ampiezza 0,005 Ω): u₂ = 0,005/√3 = 0,0029 Ω
• accuratezza da certificato (tipo B, normale, U = 0,030 Ω con k = 2): u₃ = 0,015 Ω

In quadratura: u_c = √(0,020² + 0,0029² + 0,015²) ≈ 0,025 Ω, ed estesa U = 2·u_c ≈ 0,050 Ω (k = 2). Il budget percentuale: ripetibilità 63 %, accuratezza 36 %, risoluzione 1 %. La diagnosi immediata è che domina la ripetibilità, quindi conviene aumentare le ripetizioni prima di comprare un multimetro più preciso.

Fino a un certo punto, però — e il punto si calcola. L’incertezza di tipo A va come s/√n, quindi si può ridurre a piacere; gli altri due contributi no. Il loro contributo in quadratura è un pavimento:

Il pavimento vale 0,015275 Ω, cioè il 61 % del valore a dieci letture. Passare da 10 a 100 letture guadagna il 34 %; da 100 a 1000 un altro 7 %; oltre, niente. Quindi la diagnosi «aumenta le ripetizioni» è giusta ma limitata: se serve un’incertezza migliore di 0,015 Ω, nessun numero di letture basta e la sola strada è un certificato di taratura più stretto. È la stessa lettura del budget percentuale, portata fino alla sua conseguenza.

Incertezza estesa e fattore di copertura

L’incertezza composta u_c è un’incertezza standard: per una distribuzione normale corrisponde a circa il 68 % di confidenza. Per dichiarare un intervallo a confidenza più alta si moltiplica per un fattore di copertura k, ottenendo l’incertezza estesa:

$$U=k\cdot u_c$$

Il valore di riferimento è k = 2. Le due equivalenze che si citano sempre — k = 2 ≈ 95 %, k = 3 ≈ 99,7 % — valgono solo se la distribuzione risultante è ben approssimata da una normale e i gradi di libertà effettivi sono adeguati: sono proprietà della gaussiana, non di k. Il risultato finale si scrive y ± U (k = 2).

«Gradi di libertà adeguati»: quanti, in numeri

Quel «adeguati» si calcola, quindi la vaghezza si può togliere. I gradi di libertà effettivi del bilancio si stimano con la formula di Welch-Satterthwaite:

$${\nu }_{\text{eff}}=\frac{u_c^4}{\sum _i\frac{u_i^4}{{\nu }_i}}$$

dove νᵢ sono i gradi di libertà di ciascun contributo: n − 1 per un tipo A da n letture, e convenzionalmente infiniti per un tipo B che viene da una specifica o da un certificato — quindi sono i soli contributi statistici a limitare ν_eff. Ottenuto ν_eff, il fattore di copertura corretto è il t di Student a quel numero di gradi di libertà, non 2.

Applicato all’esempio della sezione precedente, cambiando solo il numero di letture:

Il quadro è netto. Con 10 letture — quello che in laboratorio si considera un campione normale — ν_eff vale 22,6, il fattore corretto è 2,117 e usare k = 2 sottostima l’incertezza estesa del 6 %: poco, ma non zero. Con 3 letture ν_eff scende a 2,8, il fattore corretto è 3,48 e k = 2 sottostima del 74 % — un intervallo dichiarato al 95 % che in realtà ne copre molto meno. Con due sole letture il numero è ridicolo (t = 8,7), che è il modo della matematica di dire che da due misure non si stima una deviazione standard.

La regola pratica che ne segue: k = 2 è difendibile da una ventina di letture in su, dove la correzione scende sotto il paio di punti percentuali. Sotto le dieci, dichiarare U (k = 2) e chiamarlo 95 % è un’affermazione che i numeri non sostengono. Questo strumento applica il k che si imposta e non calcola ν_eff: la tabella qui sopra serve a decidere quale k impostare.

Sbagliare il divisore: quanto costa

L’errore piu’ comune di tutti non e’ nella formula ma nella scelta della distribuzione, e ha un prezzo asimmetrico. Sulla stessa specifica ±0,030 Ω dell’esempio:

Trattare come k = 1 un certificato che dichiara k = 2 gonfia u_c del 43,7 %: si dichiara un’incertezza mezza volta più grande del vero e si perde un collaudo che sarebbe passato. Interpretare la stessa specifica come rettangolare invece che normale k = 2 costa il 5,8 %, e come triangolare fa scendere u_c del 6,1 % — in quel caso si dichiara meno del dovuto, che è l’errore più grave dei due.

La regola per non sbagliare: un certificato di taratura dichiara un’incertezza estesa con il suo k, e il divisore è quel k. Un limite di specifica di catalogo, invece, non è un’incertezza: è un intervallo entro cui il costruttore garantisce che il valore cada, e si tratta come rettangolare (divisore √3) a meno che il costruttore dichiari altro. Sono due documenti diversi che vanno letti in due modi diversi.

Limiti

• Si assume indipendenza tra le grandezze d’ingresso: niente termini di covarianza. Con grandezze correlate la combinazione richiede i termini incrociati, non coperti qui.
• Modello lineare attorno al punto di lavoro (sviluppo al primo ordine): i coefficienti di sensibilità sono costanti, non si trattano non linearità forti.
• Il fattore di copertura k è applicato direttamente; non si calcolano i gradi di libertà effettivi (Welch-Satterthwaite) né si usa il metodo Monte Carlo della GUM Supplemento 1 (JCGM 101).
• Strumento dimostrativo per costruire e leggere un budget d’incertezza, non un sostituto del sistema di calcolo e di gestione dei dati usato in un laboratorio accreditato. «Software metrologico accreditato» non è una qualifica esistente: l’accreditamento riguarda il laboratorio e le attività per cui è accreditato, non il programma.

Riferimenti

• JCGM 100:2008 — GUM, Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, con l’Amendment 1 che tratta i casi in cui la linearizzazione al primo ordine non basta — il documento di riferimento per la valutazione e l’espressione dell’incertezza (citato per nome/sigla; il testo non è riprodotto).
• Strumento correlato — il calcolatore d’incertezza GUM mette in pratica questa pagina: elenca i componenti tipo A/B, scegli distribuzioni e sensibilità e leggi u_c, U e il budget percentuale.