Filtri analogici e diagramma di Bode

Un filtro fa una cosa sola: lasciar passare certe frequenze e attenuarne altre. Dietro questa frase semplice c’è la funzione di trasferimento, e il modo standard di leggerla è il diagramma di Bode. Questo strumento progetta filtri fino al 2° ordine e ne disegna il Bode; questa pagina spiega cosa guardare.

Funzione di trasferimento e diagramma di Bode

Ogni filtro è descritto da H(jω): per ogni frequenza, di quanto attenua (modulo) e di quanto sfasa (fase) il segnale. Il diagramma di Bode disegna queste due grandezze in funzione della frequenza, con due accorgimenti che lo rendono leggibile: l’asse delle frequenze è logaritmico (le decadi sono equispaziate) e il modulo è in dB (logaritmico anch’esso). Con queste scale le pendenze di attenuazione diventano rette, e si leggono a occhio. In forma normalizzata, con x = f/f₀:

$$\begin{array}{ll}{H}_{\mathrm{LP},1}=\frac{1}{1+jx}& H_{\mathrm{HP},1}=\frac{jx}{1+jx}\\ H_{\mathrm{LP},2}=\frac{1}{(1-x^2)+jx/Q}& H_{\mathrm{HP},2}=\frac{-x^2}{(1-x^2)+jx/Q}\\ H_{\mathrm{BP}}=\frac{jx/Q}{(1-x^2)+jx/Q}& H_{\mathrm{notch}}=\frac{1-x^2}{(1-x^2)+jx/Q}\end{array}$$

Frequenza naturale, e dove sta davvero il −3 dB

Il riferimento attorno a cui si legge tutto è f₀, e conviene chiamarla col suo nome: frequenza naturale (o polare). La frequenza di taglio è un’altra cosa — il punto in cui il modulo scende di 3 dB sotto la banda passante, cioè un fattore √2 in tensione e un dimezzamento della potenza. Nel primo ordine le due coincidono; nel secondo, come si vede sotto, in generale no. Per i filtri elementari:

$$\text{RC:}{f}_0=\frac{1}{2\pi RC}\text{RLC:}{f}_0=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$$

Un filtro del 1° ordine ha esattamente −45° di fase alla propria frequenza di taglio. Per il 2° ordine i −90° cadono sulla frequenza naturale f₀, che coincide col punto a −3 dB solo nel caso Butterworth (Q = 1/√2): con Q diverso le due frequenze si separano, come mostra la tabella più sotto.

f₀ non è il taglio, tranne in un caso

Nel secondo ordine il modulo vale

$$|H|=\frac{1}{\sqrt{(1-x^2{)}^2+(x/Q{)}^2}},x=f/f_0$$

e a x = 1 i due termini sotto radice diventano 0 e 1/Q², quindi |H(f₀)| = Q. Non −3 dB: Q. Il punto a −3 dB si trova risolvendo |H|² = 1/2, che con u = x² dà un’equazione di secondo grado:

$$u^2+\left(\frac{1}{Q^2}-2\right)u-1=0⟹\frac{f_{-3\text{dB}}}{f_0}=\sqrt{\frac{\left(2-\frac{1}{Q^2}\right)+\sqrt{{\left(2-\frac{1}{Q^2}\right)}^2+4}}{2}}$$

La riga Butterworth è l’unica in cui il rapporto fa 1: Q = 1/√2 è esattamente la condizione perché f₀ sia il taglio a −3 dB, e non è una coincidenza — è la stessa condizione che rende la risposta massimamente piatta. Sopra, il taglio si sposta in alto e tende a 1,554·f₀ per Q → ∞; sotto, scende (a Q = 0,5 il modulo a f₀ vale già −6 dB e il taglio sta a 0,64·f₀).

La conseguenza pratica è che chiedendo «taglio a 1 kHz» su un secondo ordine con Q = 2 e impostando f₀ = 1 kHz si ottiene un taglio a 1485 Hz e un picco di +6,3 dB a 935 Hz. Per questo lo strumento espone la f₀ effettiva come frequenza naturale, non come taglio: sono due numeri diversi e chiamarli con lo stesso nome porta a sbagliare il dimensionamento.

Un esempio

Per un passa-basso RC con taglio a 1 kHz, fissato C = 100 nF, serve R = 1/(2π·1000·100·10⁻⁹) ≈ 1591 Ω, arrotondato al valore E24 più vicino 1,6 kΩ (taglio reale ≈ 995 Hz). Una decade oltre il taglio, a 10 kHz, il modulo è già sceso di ~20 dB e la fase ha superato i −84°: è il comportamento asintotico del 1° ordine, −20 dB/decade e −90° al limite.

Il fattore Q

Nei filtri del 2° ordine la frequenza di taglio non basta: serve il fattore Q, che governa la forma della risposta attorno al taglio.

• Q = 0.707 (1/√2) è la condizione Butterworth: la risposta più piatta possibile in banda passante, senza picco.
• Q > 0.707 produce un picco di risonanza prima del taglio e una transizione più brusca: utile per la selettività, rischioso per l’overshoot e la stabilità.
• Q < 0.707 ammorbidisce la transizione (risposta più “lenta”).

In un passa-banda il Q ha un secondo significato diretto: è la selettività, cioè f0 diviso la larghezza di banda a −3 dB. Un Q alto = banda stretta.

Roll-off: l’ordine conta

Oltre il taglio il modulo cala con pendenza costante: −20 dB/decade per ogni ordine. Un 1° ordine attenua a −20 dB/decade, un 2° a −40. Ogni ordine aggiunge anche 90° di sfasamento asintotico. Quando serve un taglio più ripido si mettono in cascata più stadi — ed è qui che la topologia attiva diventa comoda.

Quanto costa un Q alto, in overshoot

«Rischioso per l’overshoot» non dice quanto. Per un secondo ordine il legame fra Q e la risposta al gradino è chiuso: con ζ = 1/(2Q) l’overshoot vale exp(−πζ/√(1−ζ²)), e il picco in frequenza esiste solo per Q > 1/√2.

Le due colonne dicono cose diverse e vanno lette insieme. Il Butterworth non ha picco in frequenza — è la definizione di massima piattezza — e tuttavia sul gradino fa 4,3 % di overshoot: la piattezza in ampiezza non implica una risposta pulita nel tempo. Il Bessel scende a mezzo punto percentuale, ed è il motivo per cui lo si sceglie quando conta la forma d’onda. A Q = 2 si è al 44 % di overshoot con soli 6,3 dB di picco: il dominio del tempo peggiora molto più in fretta di quanto il diagramma di Bode lasci sospettare, e guardando solo il modulo non si vede.

Mettere in cascata non basta: il taglio si sposta

Il punto più facile da sbagliare in pratica. Mettendo in cascata N stadi identici ciascuno tarato a f_c, la pendenza asintotica diventa −20·N dB/decade come previsto — ma il taglio a −3 dB non resta a f_c: ogni stadio contribuisce −3 dB in quel punto, quindi l’insieme è già a −3·N dB. Il nuovo taglio si trova risolvendo per il punto in cui il prodotto vale −3 dB:

$$f_{-3\text{dB}}=f_c\sqrt{2^{1/N}-1}$$

Due RC identici a 1 kHz tagliano a 644 Hz, non a 1 kHz. Per ottenere davvero 1 kHz i due stadi vanno tarati a 1,554 kHz. Con quattro stadi il fattore è 2,3. Attenzione anche a cosa NON si ottiene: N stadi identici non sono un Butterworth di ordine N, che richiede poli con Q diversi fra loro (per il quarto ordine, 0,54 e 1,31). Una cascata di stadi uguali è sempre più «molle» attorno al taglio del Butterworth di pari ordine.

Quanto sposta l’arrotondamento alla serie E

La modalità progetto ricava i componenti ideali e poi li arrotonda al valore standard più vicino. Poiché la frequenza di taglio è inversamente proporzionale a R e C, l’errore relativo sul componente si trasferisce uno a uno sul taglio. Il caso peggiore è il valore ideale che cade nel punto medio geometrico fra due valori adiacenti della serie:

L’E12 arriva a sbagliare il taglio di quasi il 12 %, che su un filtro anti-aliasing è tanto; l’E96 sta sotto l’1,5 %. Va sommato in quadratura con la tolleranza del componente, che è un’altra cosa: un E12 al 10 % può avere il valore nominale a 11,8 % dall’ideale e il pezzo reale a un altro 10 % dal nominale. Se il taglio deve stare in una finestra stretta, la serie va scelta prima della topologia — oppure si mette un trimmer.

Sallen-Key: perché un filtro attivo

Un filtro del 2° ordine passivo richiede un induttore. Alle frequenze audio e sotto, gli induttori sono ingombranti, costosi e lontani dall’ideale (resistenza serie, accoppiamenti). La cella Sallen-Key ottiene lo stesso 2° ordine con un operazionale e soli R e C:

• niente induttori;
• impedenza d’uscita bassa: si mettono in cascata più celle senza che uno stadio carichi il precedente;
• Q regolabile dai rapporti dei componenti, indipendentemente dalla frequenza di taglio.

È la topologia attiva più diffusa per i filtri fino al 2°/4° ordine. Lo strumento la sintetizza in modalità progetto, nella variante a R uguali.

Modalità progetto e serie E

Il design inverso parte dai requisiti — frequenza di taglio e, per il 2° ordine, Q — e ricava i componenti. I valori ideali non coincidono quasi mai con un valore standard, quindi si arrotonda alla serie E più vicina (E12/E24/E96, a tolleranza decrescente). Si fissa un componente di riferimento (il condensatore C, la resistenza R per l’RL) e si ricavano gli altri. Con ω₀ = 2π·f₀:

$$\begin{array}{ll}\text{RC}& R=\frac{1}{{\omega }_{0}C}\\ \text{RL}& L=\frac{R}{{\omega }_0}\\ \text{RLC serie}& L=\frac{1}{{\omega }_0^{2}C},R=\frac{1}{Q}\sqrt{L/C}\\ \text{RLC parallelo}& L=\frac{1}{{\omega }_0^{2}C},R=Q\sqrt{L/C}\\ \text{Sallen-Key}& C_1=4Q^2{C}_2,R_1=R_2=\frac{1}{{\omega }_0\sqrt{C_1{C}_2}}\end{array}$$

Quale famiglia: Butterworth, Bessel, Chebyshev, ellittico

A parità d’ordine, la famiglia (o allineamento) è il compromesso tra tre cose che non si massimizzano insieme: piattezza in banda passante, ripidità del taglio e qualità della fase / risposta al transitorio.

• Butterworth — banda passante massimamente piatta, niente ripple, taglio e fase moderati. La scelta neutra di default.
• Bessel — fase quasi lineare (ritardo di gruppo costante): risposta al gradino pulita, senza overshoot né ringing. In cambio il taglio più dolce. Si usa quando conta la forma d’onda (audio, impulsi, dati).
• Chebyshev — taglio più ripido del Butterworth, al prezzo di un ripple in banda passante (più ripple = più ripido). Quando serve selettività e il ripple è tollerabile.
• Ellittico (Cauer) — il taglio più ripido per un dato ordine, ma con ripple sia in banda passante sia in quella attenuata e la fase peggiore. Per banda di transizione minima.

Per una cella del 2° ordine “tutta poli” (RLC, Sallen-Key) la famiglia si riduce a un valore di Q: Bessel ≈ 0.58, Butterworth = 0.707, Chebyshev > 0.707 (con ripple). L’ellittico e il Chebyshev inverso richiedono anche degli zeri (un notch) e non si realizzano con un Sallen-Key passa-basso elementare. Per questo lo strumento, al 2° ordine, offre Bessel/Butterworth/Chebyshev.

Limiti

• Componenti ideali: niente tolleranze, niente ESR/ESL dei reali, nessun carico a valle (uscita non caricata).
• Il Sallen-Key usa un operazionale ideale (banda, guadagno e slew-rate infiniti): i limiti reali dell’opamp deformano la risposta alle alte frequenze.
• Fino al 2° ordine; ordini superiori si ottengono in cascata, non coperti qui.
• Strumento dimostrativo, non un simulatore SPICE.

Riferimenti

• Testi di teoria dei circuiti e application note sui filtri attivi dei produttori di operazionali — il riferimento per il dimensionamento Sallen-Key, la scelta del Q e le tabelle dei filtri standard (Butterworth, Chebyshev, Bessel).
• Strumento correlato — il progettista di filtri con Bode mette in pratica questa pagina: scegli topologia e valori e leggi taglio, Q e il diagramma di Bode, o parti dalla frequenza e ottieni i componenti.