Analog Filter & Bode
Progetta filtri analogici fino al secondo ordine: imposti la frequenza di taglio (e il Q) e ottieni i valori dei componenti R/L/C arrotondati alla serie E, la f₀ e il Q effettivi e il diagramma di Bode. Strumento dimostrativo.
Topologia
Requisiti
Imposti la frequenza (e Q per il 2° ordine). Si fissa C — per l’RL si fissa R — e R, L e i restanti valori sono il risultato.
Componenti calcolati
Modulo |H| in dB (asse sinistro) e fase in gradi (asse destro) su scala log di frequenza. La linea verticale segna la f di taglio. Strumento dimostrativo.
A cosa serve un filtro?
Un filtro lascia passare le frequenze utili e attenua le altre. Serve dappertutto: anti-aliasing prima di un ADC, rimozione del ronzio di rete a 50/60 Hz, crossover audio, pulizia dell’uscita di un alimentatore switching, isolamento di una portante. Scegliere frequenza di taglio, pendenza e forma attorno al taglio è ciò che questo strumento dimensiona.
Un segnale reale è una somma di frequenze: quella che ti serve, più rumore, disturbi e interferenze fuori banda. Serve dappertutto: limitare la banda di un segnale prima di campionarlo (anti-aliasing davanti a un ADC), togliere il ronzio di rete a 50/60 Hz, separare le vie di un crossover audio, ripulire l’uscita di un alimentatore switching, isolare o estrarre una portante. Scegliere la giusta frequenza di taglio, la pendenza e la forma attorno al taglio è il mestiere.
Funzione di trasferimento
Un filtro è descritto dalla sua funzione di trasferimento H(jω): quanto attenua e quanto sfasa ogni frequenza. Il diagramma di Bode la disegna in due tracce — il modulo in dB e la fase in gradi — su una scala logaritmica delle frequenze, dove le pendenze diventano rette. In forma normalizzata, con x = f/f₀:
Frequenza naturale e −3 dB
La frequenza di taglio è dove il modulo scende di 3 dB rispetto alla banda passante, cioè dove la potenza si dimezza. Per un RC è f = 1/(2πRC); per un RLC è f = 1/(2π√(LC)). È il punto di riferimento attorno a cui si legge tutto il resto.
Cos’è il fattore Q?
Nei filtri del 2° ordine il fattore Q governa la forma attorno al taglio: Q = 0,707 (Butterworth) dà la risposta più piatta senza picco; un Q più alto produce un picco di risonanza e una transizione più brusca; un Q più basso la ammorbidisce. In un passa-banda Q è la selettività, cioè f₀ diviso la larghezza di banda.
Quale famiglia: Butterworth, Bessel, Chebyshev, ellittico
A parità d’ordine, la "famiglia" (o allineamento) è il compromesso tra tre cose che non si massimizzano insieme: piattezza in banda passante, ripidità del taglio e qualità della fase / risposta al transitorio.
- Butterworth — banda passante massimamente piatta, niente ripple, taglio e fase moderati. La scelta neutra di default quando non hai un vincolo particolare.
- Bessel — fase quasi lineare (ritardo di gruppo costante): risposta al gradino pulita, senza overshoot né ringing. In cambio è il taglio più dolce. Si usa quando conta la forma d’onda (audio, impulsi, dati).
- Chebyshev — taglio più ripido del Butterworth a parità d’ordine, al prezzo di un ripple in banda passante (più ripple = più ripido). Quando serve selettività e il ripple è tollerabile.
- Ellittico (Cauer) — il taglio più ripido in assoluto per un dato ordine, ma con ripple sia in banda passante sia in quella attenuata, e la fase peggiore. Si sceglie quando la banda di transizione deve essere minima.
Per una cella del 2° ordine "tutta poli" (RLC, Sallen-Key) la famiglia si riduce a un valore di Q: Bessel ≈ 0.58, Butterworth = 0.707, Chebyshev > 0.707 (con ripple). L’ellittico e il Chebyshev inverso richiedono anche degli ZERI (un notch) e non si realizzano con un passa-basso Sallen-Key elementare — servono topologie con zeri. Per questo lo strumento, al 2° ordine, offre Bessel/Butterworth/Chebyshev.
Roll-off: 20 e 40 dB/decade
Oltre il taglio il modulo cala con pendenza costante: −20 dB/decade per il 1° ordine, −40 dB/decade per il 2°. Ogni ordine in più aggiunge 20 dB/decade di attenuazione — e 90° di sfasamento. È il motivo per cui si mettono in cascata più stadi.
Sallen-Key: perché un attivo
Un RLC del 2° ordine richiede un induttore, ingombrante e non ideale alle basse frequenze. La cella Sallen-Key ottiene lo stesso 2° ordine con un operazionale e soli R e C: niente induttori, impedenza d’uscita bassa (si mettono in cascata senza che gli stadi si carichino tra loro) e Q impostabile dai rapporti dei componenti. È la topologia attiva più comune.
Quali sono le formule di progetto?
Si parte dai requisiti — frequenza di taglio f₀ e, al 2° ordine, Q — si fissa un componente di riferimento (il condensatore C, la resistenza R per l’RL) e si ricavano gli altri, arrotondati alla serie E. Con ω₀ = 2π·f₀: per l’RC R = 1/(ω₀C); per l’RLC serie L = 1/(ω₀²C). Lo strumento mostra ideale ed E-series più vicino e ricalcola f₀ e Q effettivi.
Si parte dai requisiti (frequenza di taglio f₀ e, per il 2° ordine, Q), si fissa un componente di riferimento (il condensatore C — la resistenza R per l’RL) e si ricavano gli altri, poi arrotondati alla serie E. Con ω₀ = 2π·f₀:
Lo strumento mostra il valore ideale e il valore E-series più vicino, e ricalcola la f₀ e il Q effettivi con i valori reali (l’arrotondamento introduce un piccolo errore).
Quali sono i limiti dello strumento?
Lo strumento assume componenti ideali: niente tolleranze, niente ESR/ESL dei reali, nessun carico a valle. Il Sallen-Key usa un operazionale ideale (banda, guadagno e slew-rate infiniti), quindi i limiti reali dell’opamp spostano la risposta alle alte frequenze. Copre fino al 2° ordine — gli ordini superiori si ottengono in cascata. È dimostrativo, non un simulatore SPICE.
- Componenti ideali: niente tolleranze, ESR/ESL dei reali, né carico a valle (si assume uscita non caricata).
- Il Sallen-Key usa un operazionale ideale: banda infinita, guadagno infinito, slew-rate infinito. I limiti reali dell’opamp spostano la risposta alle alte frequenze.
- Fino al 2° ordine; ordini superiori si ottengono in cascata di stadi (non coperto qui).
- Strumento dimostrativo, non un simulatore SPICE.