Quando consegniamo una misura — un valore letto da uno strumento, una grandezza calcolata da una catena di acquisizione — la prima domanda che ci facciamo non è “quanto vale”, ma “quanto vale ± quanto”. Un numero da solo, senza la sua incertezza, non dice se due misure sono in accordo, se un componente è dentro tolleranza, se un risultato conferma o smentisce un’ipotesi. È per questo che lo diciamo senza sfumature: una misura senza incertezza non è una misura, è un’opinione numerica.
Il budget d’incertezza
L’incertezza non è un singolo numero che cade dal cielo: si costruisce, voce per voce, in un budget d’incertezza. Si elencano tutte le sorgenti che contribuiscono alla dispersione del risultato — il rumore della lettura, la risoluzione del display, la deriva di taratura, l’effetto della temperatura, l’incertezza del campione di riferimento — e a ciascuna si associa un contributo. Il quadro di riferimento metodologico è la guida GUM (JCGM 100:2008, Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement), che fissa il vocabolario e le regole con cui questi contributi vanno valutati e combinati. Il budget serve anche prima del numero finale, perché obbliga a rendere esplicite le ipotesi: è nel farlo che emergono i contributi dimenticati.
Tipo A e tipo B: come si valuta un contributo
La GUM distingue le sorgenti in due categorie a seconda di come si stima il contributo, non della loro natura fisica.
L’incertezza di tipo A si valuta per via statistica, ripetendo la misura: si fanno N letture, si calcola la deviazione standard del campione e da questa la deviazione standard della media. È l’incertezza che “si misura”, la dispersione osservata quando si ripete l’esperimento.
L’incertezza di tipo B si stima da ogni altra fonte che non sia la ripetizione: il certificato di taratura dello strumento, la risoluzione del display, i limiti dichiarati sul datasheet, l’esperienza. Qui non si osserva una dispersione, la si deduce da ciò che si sa a priori.
I divisori: da semitolleranza a incertezza tipo
Le sorgenti di tipo B arrivano tipicamente come un intervallo — “± mezza cifra di risoluzione”, “± lo 0,1% dichiarato”, “fra questi due limiti” — non come una deviazione standard. Per combinarle con le altre vanno convertite in incertezza tipo, e la conversione dipende dalla distribuzione di probabilità che assumiamo dentro quell’intervallo.
- Distribuzione rettangolare — ogni valore nell’intervallo è egualmente probabile. È l’ipotesi prudente di default per risoluzione, quantizzazione, limiti di datasheet senza altra informazione. La semiampiezza
asi divide per √3. - Distribuzione triangolare — i valori centrali sono più probabili di quelli ai bordi. Si usa quando c’è ragione di credere che gli estremi siano improbabili. La semiampiezza si divide per √6.
Sbagliare il divisore — per esempio trattare una risoluzione come se fosse una deviazione standard, dimenticando il /√3 — è uno degli errori più comuni, e gonfia o sgonfia silenziosamente il budget.
Combinare e poi estendere
Una volta che ogni contributo è espresso come incertezza tipo u_i, e assumendo che le sorgenti siano indipendenti, si combinano in quadratura: l’incertezza tipo composta è la radice quadrata della somma dei quadrati, u_c = √(Σ u_i²). La somma in quadratura, e non aritmetica, riflette il fatto che è improbabile che tutti i contributi sbaglino nello stesso verso contemporaneamente; di conseguenza i contributi più piccoli pesano poco — sotto un terzo del dominante diventano quasi irrilevanti, il che dice dove investire per ridurre l’incertezza.
L’ultimo passo serve a comunicare il risultato con un livello di confidenza dichiarato. La u_c corrisponde a circa il 68% (una deviazione standard); per arrivare al consueto ~95% si calcola l’incertezza estesa moltiplicando per un fattore di copertura k: U = k · u_c, con k ≈ 2 per ~95%. Il risultato si scrive allora come valore ± U (k=2) — ed è questa la forma che rende una misura confrontabile con un’altra, con un limite di tolleranza, con un valore di riferimento.
Che cosa rende difendibile un «passa/non passa»
Sul fattore di copertura vale una precisazione che si perde spesso: k = 2 corrisponde a circa il 95 % soltanto se la distribuzione della grandezza d’uscita è approssimativamente normale e i gradi di libertà effettivi sono abbastanza alti. Quando un contributo di tipo A domina il budget e si basa su poche ripetizioni, il fattore va ricavato dalla distribuzione di Student attraverso i gradi di libertà effettivi (Welch-Satterthwaite), e risulta maggiore di 2. Allo stesso modo la distribuzione rettangolare è una scelta prudente per risoluzione e limiti di datasheet, non un default valido per qualunque specifica: dove il costruttore dichiara una distribuzione o un livello di confidenza, si usa quello.
In taratura e in strumentazione il budget d’incertezza è la base su cui un «passa/non passa» diventa difendibile, e non basta da solo: serve anche una regola decisionale dichiarata, che stabilisca come l’incertezza entra nel giudizio di conformità, con quale banda di guardia e con quale rischio accettato. Il riferimento è la ISO/IEC Guide 98-4, nota come JCGM 106. In una relazione tecnica incertezza e regola decisionale vanno tenute distinte.
Costruirlo costringe a sapere cosa entra nella catena di misura — risoluzione, deriva, campione di riferimento, ambiente — e a quantificarlo invece di sperare. Per montare un budget concreto, con tipo A/B, divisori, quadratura e fattore di copertura, abbiamo messo online un calcolo dell’incertezza (GUM); il metodo e le formule sono nella wiki dedicata.
Devi dichiarare l’incertezza di una taratura o di una catena di misura e vuoi un budget difendibile? Parliamone.