# Incertezza di misura secondo la GUM > Bilancio d'incertezza secondo la GUM (JCGM 100:2008): valutazioni di tipo A e B, incertezza standard, combinazione in quadratura, incertezza estesa e copertura. Pubblicato: 2026-06-24 Aggiornato: 2026-08-25 Ambito: software Riferimento normativo: Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (JCGM 100:2008) Pagina: --- Nessuna misura è esatta: ogni valore va accompagnato da una stima della sua incertezza. La **GUM** — *Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement* (JCGM 100:2008) — è la guida internazionale che standardizza il modo di stimarla ed esprimerla. Questa pagina riassume il procedimento che lo strumento mette in pratica: elencare i contributi, convertirli in incertezza standard, combinarli ed estenderli con un fattore di copertura. ## La GUM in breve L'incertezza di una misura è la quantificazione del dubbio sul valore. Il procedimento GUM è sempre lo stesso, qualunque sia la misura: 1. si identifica il **misurando** e, se serve, un modello y = f(x₁, …, xₙ) che lega le grandezze d'ingresso al risultato; 2. si elencano tutte le **sorgenti d'incertezza** e si valuta ciascuna come incertezza standard uᵢ, nella stessa unità del misurando; 3. si **combinano** le uᵢ nell'incertezza tipo composta u_c; 4. si moltiplica per un **fattore di copertura** k per ottenere l'incertezza estesa U, che definisce un intervallo con un livello di confidenza dichiarato. Il risultato si esprime come *y ± U*, dichiarando sempre il k usato. ## Incertezza di tipo A e di tipo B La GUM distingue **due modi di valutare** un contributo, non due nature diverse di incertezza: - **Tipo A** — valutazione **statistica** da una serie di osservazioni ripetute. L'esempio canonico è la deviazione standard della media di n letture, σ/√n. Si stima dai dati raccolti. - **Tipo B** — valutazione da **ogni altra informazione** disponibile: un certificato di taratura, la risoluzione dello strumento, le specifiche del costruttore, l'esperienza o un manuale. Si assume una distribuzione di probabilità e da questa si ricava l'incertezza standard. Punto chiave: una volta che entrambi i tipi sono stati convertiti in un'**incertezza standard** uᵢ, si trattano **allo stesso modo**. La distinzione A/B non cambia la combinazione, serve a documentare l'origine di ciascun contributo. ## Distribuzioni e divisori Per i contributi di tipo B si parte tipicamente da una **semi-ampiezza** a (metà dell'intervallo entro cui si assume cada il valore) e si assume una forma di distribuzione. L'incertezza standard è la semi-ampiezza divisa per un **divisore** caratteristico della forma: $$ u = \dfrac{a}{\text{divisore}}, \qquad \begin{array}{ll} \text{rettangolare:} & \text{divisore} = \sqrt{3} \\[4pt] \text{triangolare:} & \text{divisore} = \sqrt{6} \\[4pt] \text{normale:} & \text{divisore} = 1 \ (\text{oppure } k \text{ del certificato}) \end{array} $$ - **Rettangolare** (uniforme) — ogni valore nell'intervallo è ugualmente probabile, niente concentrazione attorno al centro. È il caso tipico della **risoluzione** di un display, dei limiti di specifica, della quantizzazione. Divisore **√3**. - **Triangolare** — i valori centrali sono più probabili degli estremi (ad esempio dalla somma di due contributi uniformi). Divisore **√6**. - **Normale** (gaussiana) — il valore fornito è **già** un'incertezza standard, quindi divisore 1. Se invece proviene da un **certificato di taratura** che dichiara un'incertezza estesa U con il suo k, l'incertezza standard si recupera dividendo per quel k (divisore = k del certificato). ## Coefficiente di sensibilità Quando una grandezza d'ingresso non è direttamente il misurando ma vi entra attraverso il modello y = f(x₁, …, xₙ), il suo contributo va **pesato** dal coefficiente di sensibilità: $$ c_i = \dfrac{\partial f}{\partial x_i}, \qquad u_i = \dfrac{a_i}{\text{divisore}}\cdot c_i $$ Il coefficiente cᵢ converte l'incertezza dell'ingresso *xᵢ* nell'incertezza che essa produce sul misurando *y* (cambia anche le unità, se diverse). Per una grandezza che è il misurando stesso, c = 1. ## Combinazione in quadratura Assunte **indipendenti** le grandezze d'ingresso (covarianze nulle), le incertezze standard si combinano come **radice della somma dei quadrati** — la legge di propagazione GUM senza i termini di correlazione. Il risultato è l'incertezza tipo composta: $$ u_c = \sqrt{\sum_i u_i^{\,2}} $$ Una conseguenza pratica importante: poiché i contributi si sommano **in quadratura**, i termini più piccoli pesano pochissimo. Quanto poco, in cifre — è il dato che decide dove si spende il tempo: | uᵢ / u_max | Peso sulla varianza | Riduzione di u_c azzerandolo | |---|---|---| | 1 | 50,00 % | 29,29 % | | 1/2 | 20,00 % | 10,56 % | | 1/3 | 10,00 % | 5,13 % | | 1/4 | 5,88 % | 2,99 % | | 1/10 | 0,99 % | 0,50 % | | 1/20 | 0,25 % | 0,12 % | La colonna a destra è la più istruttiva, perché risponde alla domanda che si pone davvero: *se eliminassi questo contributo del tutto, quanto guadagnerei?* Una sorgente che vale un terzo della maggiore pesa il 10 % della varianza, e **azzerarla** — non ridurla, azzerarla — fa scendere u_c del 5 %. Una che vale un decimo fa guadagnare mezzo punto percentuale. Da qui la regola operativa: si aggredisce la sorgente più grande, e ci si ferma quando i primi due contributi sono comparabili. Rifinire il terzo, quando il primo lo domina di tre volte, è lavoro che non si vede nel risultato. ## Budget d'incertezza Il **budget d'incertezza** è la tabella che mette in fila tutti i contributi con la loro incertezza standard uᵢ e il loro **peso percentuale** sulla varianza: $$ \text{peso}_i = \dfrac{u_i^{\,2}}{\sum_j u_j^{\,2}} \times 100\,\% $$ È lo strumento diagnostico del metrologo: dice a colpo d'occhio quali sorgenti dominano e dove conviene intervenire per ridurre l'incertezza (migliorare la taratura, aumentare le ripetizioni, scegliere uno strumento a risoluzione più fine). Lo strumento web disegna questo budget come barre orizzontali ordinate per contributo decrescente. ### Un esempio Misura di una resistenza con un multimetro, tre contributi: - **ripetibilità** (tipo A, da 10 letture): u₁ = 0,020 Ω - **risoluzione** del display (tipo B, rettangolare, semi-ampiezza 0,005 Ω): u₂ = 0,005/√3 = 0,0029 Ω - **accuratezza** da certificato (tipo B, normale, U = 0,030 Ω con k = 2): u₃ = 0,015 Ω In quadratura: u_c = √(0,020² + 0,0029² + 0,015²) ≈ **0,025 Ω**, ed estesa U = 2·u_c ≈ **0,050 Ω** (k = 2). Il budget percentuale: ripetibilità **63 %**, accuratezza **36 %**, risoluzione **1 %**. La diagnosi immediata è che domina la ripetibilità, quindi conviene aumentare le ripetizioni prima di comprare un multimetro più preciso. Fino a un certo punto, però — e il punto si calcola. L'incertezza di tipo A va come s/√n, quindi si può ridurre a piacere; gli altri due contributi no. Il loro contributo in quadratura è un **pavimento**: | Letture n | u_A | u_c | Rispetto a n = 10 | Rispetto al pavimento | |---|---|---|---|---| | 2 | 0,04472 | 0,04726 | 1,878 | 3,094 | | 3 | 0,03651 | 0,03958 | 1,573 | 2,591 | | 5 | 0,02828 | 0,03215 | 1,277 | 2,104 | | 10 | 0,02000 | 0,02517 | 1,000 | 1,648 | | 20 | 0,01414 | 0,02082 | 0,827 | 1,363 | | 50 | 0,00894 | 0,01770 | 0,703 | 1,159 | | 100 | 0,00632 | 0,01653 | 0,657 | 1,082 | | 1000 | 0,00200 | 0,01541 | 0,612 | 1,009 | Il pavimento vale **0,015275 Ω**, cioè il 61 % del valore a dieci letture. Passare da 10 a 100 letture guadagna il 34 %; da 100 a 1000 un altro 7 %; oltre, niente. Quindi la diagnosi «aumenta le ripetizioni» è giusta ma limitata: se serve un'incertezza migliore di 0,015 Ω, **nessun numero di letture basta** e la sola strada è un certificato di taratura più stretto. È la stessa lettura del budget percentuale, portata fino alla sua conseguenza. ## Incertezza estesa e fattore di copertura L'incertezza composta u_c è un'incertezza **standard**: per una distribuzione normale corrisponde a circa il 68 % di confidenza. Per dichiarare un intervallo a confidenza più alta si moltiplica per un **fattore di copertura** k, ottenendo l'incertezza estesa: $$ U = k \cdot u_c $$ Il valore di riferimento è **k = 2**. Le due equivalenze che si citano sempre — k = 2 ≈ 95 %, k = 3 ≈ 99,7 % — valgono **solo** se la distribuzione risultante è ben approssimata da una normale e i gradi di libertà effettivi sono adeguati: sono proprietà della gaussiana, non di k. Il risultato finale si scrive *y ± U (k = 2)*. ### «Gradi di libertà adeguati»: quanti, in numeri Quel «adeguati» si calcola, quindi la vaghezza si può togliere. I gradi di libertà effettivi del bilancio si stimano con la formula di **Welch-Satterthwaite**: $$ \nu_{\text{eff}} = \dfrac{u_c^{\,4}}{\displaystyle\sum_i \dfrac{u_i^{\,4}}{\nu_i}} $$ dove νᵢ sono i gradi di libertà di ciascun contributo: **n − 1** per un tipo A da n letture, e convenzionalmente **infiniti** per un tipo B che viene da una specifica o da un certificato — quindi sono i soli contributi statistici a limitare ν_eff. Ottenuto ν_eff, il fattore di copertura corretto è il **t di Student** a quel numero di gradi di libertà, non 2. Applicato all'esempio della sezione precedente, cambiando solo il numero di letture: | Letture n | ν = n − 1 | u_c | ν_eff | t (95,45 %) | Quanto k = 2 sottostima U | |---|---|---|---|---|---| | 2 | 1 | 0,04726 | 1,2 | 8,705 | **335 %** | | 3 | 2 | 0,03958 | 2,8 | 3,482 | **74 %** | | 5 | 4 | 0,03215 | 6,7 | 2,454 | **23 %** | | 10 | 9 | 0,02517 | 22,6 | 2,117 | 6 % | | 20 | 19 | 0,02082 | 89,2 | 2,028 | 1,4 % | | 50 | 49 | 0,01770 | 752 | 2,003 | 0,2 % | | 100 | 99 | 0,01653 | 4623 | 2,001 | 0,0 % | Il quadro è netto. Con **10 letture** — quello che in laboratorio si considera un campione normale — ν_eff vale 22,6, il fattore corretto è 2,117 e usare k = 2 sottostima l'incertezza estesa del **6 %**: poco, ma non zero. Con **3 letture** ν_eff scende a 2,8, il fattore corretto è 3,48 e k = 2 sottostima del **74 %** — un intervallo dichiarato al 95 % che in realtà ne copre molto meno. Con **due sole letture** il numero è ridicolo (t = 8,7), che è il modo della matematica di dire che da due misure non si stima una deviazione standard. La regola pratica che ne segue: **k = 2 è difendibile da una ventina di letture in su**, dove la correzione scende sotto il paio di punti percentuali. Sotto le dieci, dichiarare *U (k = 2)* e chiamarlo 95 % è un'affermazione che i numeri non sostengono. Questo strumento applica il k che si imposta e non calcola ν_eff: la tabella qui sopra serve a decidere quale k impostare. ### Sbagliare il divisore: quanto costa L'errore piu' comune di tutti non e' nella formula ma nella scelta della distribuzione, e ha un prezzo asimmetrico. Sulla stessa specifica ±0,030 Ω dell'esempio: | Come si interpreta la specifica ±0,030 | Divisore | u₃ | u_c | Variazione | |---|---|---|---|---| | certificato normale con k = 2 (**corretto**) | 2 | 0,01500 | 0,02517 | 0 % | | normale trattata come k = 1 | 1 | 0,03000 | 0,03617 | +43,7 % | | rettangolare | √3 | 0,01732 | 0,02661 | +5,8 % | | triangolare | √6 | 0,01225 | 0,02363 | −6,1 % | Trattare come **k = 1** un certificato che dichiara k = 2 gonfia u_c del **43,7 %**: si dichiara un'incertezza mezza volta più grande del vero e si perde un collaudo che sarebbe passato. Interpretare la stessa specifica come rettangolare invece che normale k = 2 costa il 5,8 %, e come triangolare fa *scendere* u_c del 6,1 % — in quel caso si dichiara meno del dovuto, che è l'errore più grave dei due. La regola per non sbagliare: un certificato di taratura dichiara un'incertezza **estesa** con il suo k, e il divisore è quel k. Un limite di specifica di catalogo, invece, non è un'incertezza: è un intervallo entro cui il costruttore garantisce che il valore cada, e si tratta come **rettangolare** (divisore √3) a meno che il costruttore dichiari altro. Sono due documenti diversi che vanno letti in due modi diversi. ## Limiti - Si assume **indipendenza** tra le grandezze d'ingresso: niente termini di covarianza. Con grandezze correlate la combinazione richiede i termini incrociati, non coperti qui. - Modello **lineare** attorno al punto di lavoro (sviluppo al primo ordine): i coefficienti di sensibilità sono costanti, non si trattano non linearità forti. - Il fattore di copertura k è applicato direttamente; non si calcolano i gradi di libertà effettivi (Welch-Satterthwaite) né si usa il metodo Monte Carlo della GUM Supplemento 1 (JCGM 101). - Strumento dimostrativo per costruire e leggere un budget d'incertezza, non un sostituto del sistema di calcolo e di gestione dei dati usato in un laboratorio accreditato. «Software metrologico accreditato» non è una qualifica esistente: l'accreditamento riguarda il laboratorio e le attività per cui è accreditato, non il programma. ## Riferimenti - **JCGM 100:2008 — GUM**, *Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement*, con l'**Amendment 1** che tratta i casi in cui la linearizzazione al primo ordine non basta — il documento di riferimento per la valutazione e l'espressione dell'incertezza (citato per nome/sigla; il testo non è riprodotto). - **Strumento correlato** — il [calcolatore d'incertezza GUM](/tools/measurement-uncertainty/) mette in pratica questa pagina: elenca i componenti tipo A/B, scegli distribuzioni e sensibilità e leggi u_c, U e il budget percentuale.