# Filtri IIR digitali e cascata di biquad > Progetto di filtri IIR nelle cinque famiglie classiche (Butterworth, Chebyshev I e II, ellittico, Bessel) come cascata di sezioni del secondo ordine: trasformata bilineare, stabilità dai poli, coefficienti SOS ed export per CMSIS-DSP. Pubblicato: 2026-06-24 Aggiornato: 2026-08-25 Ambito: elettronica Riferimento normativo: Filtri IIR digitali e cascata di biquad Pagina: --- ## Cosa fa lo strumento Progetta un filtro **IIR digitale** a partire da una specifica (tipo, famiglia, ordine, frequenza di campionamento e di taglio) e restituisce i **coefficienti biquad**, la **risposta in frequenza** (ampiezza e fase), la **mappa poli/zeri** e l'**export per CMSIS-DSP**. Il calcolo gira nel browser su un'implementazione propria, senza dipendenze runtime: prototipo analogico → trasformazione LP→LP / LP→HP → bilineare → SOS, con l'algoritmo di Orfanidis per le funzioni ellittiche di Jacobi dell'ellittico. Un filtro IIR di ordine N si realizza come **cascata di sezioni del secondo ordine** (SOS, *second-order sections*): è la forma numericamente robusta, perché una singola sezione di ordine alto accumula errori di quantizzazione sui coefficienti. Ogni sezione è un *biquad*: $$ H_k(z) = \dfrac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2}}{1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}}, \qquad H(z) = \prod_{k=1}^{N/2} H_k(z) $$ ## Dal continuo al discreto: trasformata bilineare Il prototipo analogico (Butterworth o Bessel) viene mappato nel piano z con la **trasformata bilineare**. Per far coincidere esattamente la frequenza di taglio si applica il **pre-warping**: $$ s \;\leftarrow\; \dfrac{2}{T}\,\dfrac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}, \qquad \omega_a = \dfrac{2}{T}\tan\!\left(\dfrac{\omega_d T}{2}\right) $$ dove `T = 1/Fs`. La bilineare conserva la stabilità e comprime l'asse delle frequenze: tutto l'asse analogico `0…∞` finisce nell'intervallo `0…Fs/2` (Nyquist). ## Stabilità: si legge dai poli I **poli** sono le radici del denominatore di ciascun biquad; gli **zeri** quelle del numeratore. La bilineare manda il semipiano sinistro analogico (stabile) nell'**interno del cerchio unitario**. Quindi: $$ \text{stabile} \iff |p_i| < 1 \quad \forall\, i $$ Lo strumento calcola i poli risolvendo `z² + a₁z + a₂ = 0` per ogni sezione e segnala se anche uno solo esce dal cerchio unitario. ## Le cinque approssimazioni: quale scegliere Le famiglie sono i diversi modi di approssimare la risposta ideale "a muro". Ognuna è un compromesso tra **ripidità della transizione**, **ripple** (ondulazione) e **linearità di fase** (fedeltà nel tempo). Lo strumento le copre tutte. ### Butterworth — modulo massimamente piatto Nessun ripple in banda passante, attenuazione asintotica di `20·N` dB/decade, roll-off il più dolce del gruppo. $$ |H_{\text{BW}}(j\omega)|^2 = \dfrac{1}{1 + \left(\omega/\omega_c\right)^{2N}} $$ **Quando**: banda passante pulita, ordine non critico. Default ragionevole quando non hai requisiti stringenti. **Casi d'uso**: condizionamento di sensori, anti-aliasing non aggressivo, livellamento generico. ### Chebyshev I — ripple in banda passante Ammette un ripple `Ap` in banda passante (parametro `ε`) in cambio di una transizione **più ripida** di Butterworth a parità di ordine. Stopband monotona. $$ |H_{\text{C1}}(j\omega)|^2 = \dfrac{1}{1 + \varepsilon^2 T_N^2(\omega/\omega_c)}, \qquad \varepsilon = \sqrt{10^{A_p/10} - 1} $$ dove `Tₙ` è il polinomio di Chebyshev. **Quando**: serve più selettività e si tollera un po' di ondulazione in banda. **Casi d'uso**: filtri di canale, separazione di bande dove l'ampiezza in banda non deve essere perfettamente piatta. ### Chebyshev II (inverso) — ripple in stopband Banda passante **piatta** (come Butterworth), ripple in stopband (parametro `As`). La transizione è ripida e l'attenuazione equiripple garantisce un minimo di reiezione costante. $$ |H_{\text{C2}}(j\omega)|^2 = \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{\varepsilon^2 T_N^2(\omega_s/\omega)}} $$ **Quando**: vuoi banda passante pulita ma accetti ondulazioni nell'attenuata, con un livello minimo di reiezione garantito. **Casi d'uso**: anti-aliasing dove conta la planarità della banda utile e basta un floor di stopband. ### Ellittico / Cauer — il più ripido Ripple in **entrambe** le bande. A parità di ordine ha la **transizione più ripida in assoluto**: nessuna altra approssimazione classica lo batte in selettività per dato `N`. Il prezzo è la **fase più non lineare** (ritardo di gruppo molto variabile vicino al taglio) e maggiore overshoot/ringing nel tempo. $$ |H_{\text{ell}}(j\omega)|^2 = \dfrac{1}{1 + \varepsilon^2 R_N^2(\xi,\,\omega/\omega_c)} $$ dove `Rₙ` è la funzione razionale ellittica (costruita su funzioni ellittiche jacobiane) e `ξ` il fattore di selettività che lega ripple in banda passante e attenuata. **Casi limite** (inquadrano la sua generalità): - ripple stopband → 0 degenera in **Chebyshev I** - ripple passband → 0 degenera in **Chebyshev II** - entrambi → 0 degenera in **Butterworth** Quindi l'ellittico è la forma generale; le altre tre sono suoi casi particolari. **Quando**: serve la massima ripidità con l'ordine (e quindi il costo computazionale) più basso, e puoi tollerare ripple e fase non lineare. **Casi d'uso**: anti-aliasing aggressivi, reiezione stretta di toni/bande, applicazioni dove conta solo il modulo e non la forma d'onda. ### Il ritardo di gruppo, misurato Dire che il Bessel ha «ritardo di gruppo quasi costante» è vero ma non dice quanto. Calcolato per differenze finite sulla fase, in campioni, per i quattro filtri a ordine 4 con Fc = 100 Hz e fs = 1000 Hz: | Famiglia | 10 Hz | 50 Hz | 100 Hz | 150 Hz | Escursione in banda | |---|---|---|---|---|---| | Bessel | 4,93 | 5,04 | 4,49 | 2,63 | 12,4 % | | Butterworth | 4,04 | 4,66 | 6,29 | 2,61 | 61,4 % | | Chebyshev I | 4,33 | 5,94 | 13,59 | 1,40 | 213,7 % | | Ellittico | 3,56 | 5,56 | 17,95 | 1,33 | 404,3 % | L'ultima colonna è l'escursione percentuale del ritardo fra 10 e 100 Hz, e mette in fila le famiglie in un ordine preciso: **Bessel 12 %, Butterworth 61 %, Chebyshev I 214 %, ellittico 404 %**. Un fronte che attraversa l'ellittico esce con le sue componenti spettrali sfasate di un fattore quattro nel tempo di transito: è esattamente l'origine del ringing. Se il segnale è un impulso, un fronte, una forma d'onda da misurare nel tempo, quella colonna conta più della ripidezza. Si noti anche che il ritardo **cala** a 150 Hz per tutte: fuori banda il filtro non ritarda, attenua, e il ritardo di gruppo perde significato pratico. ### Quanto resta della linearità di fase in digitale La linearità del Bessel è una proprietà del prototipo **analogico**, e la bilineare la deforma. Quanto? Dipende da dove sta `Fc` rispetto a fs: | f_c / f_s | Escursione del ritardo di gruppo in banda | |---|---| | 0,005 | 21,1 % | | 0,010 | 21,0 % | | 0,025 | 20,5 % | | 0,050 | 18,6 % | | 0,100 | 12,4 % | | 0,200 | 26,7 % | | 0,400 | **750,7 %** | Sotto **fc/fs ≈ 0,1** il Bessel digitale conserva il comportamento analogico: l'escursione del 18–21 % è quella intrinseca del prototipo a ordine 4, non un danno della trasformazione. Attorno a 0,2 la bilineare inizia a mordere, e a **fc/fs = 0,4** l'escursione arriva al 750 %: il filtro ha perso qualunque somiglianza con un Bessel. La regola pratica è quindi netta — **se si sceglie il Bessel per la fase, si sovracampiona**: la fase lineare digitale si compra con un fs almeno dieci volte la banda utile, oppure si passa a un FIR, dove è esatta per costruzione. ### Bessel / Thomson — fase massimamente lineare Ritardo di gruppo quasi costante (fase lineare): **preserva la forma d'onda nel tempo**, niente overshoot sul gradino. Roll-off molto dolce. Nota: la linearità di fase del Bessel è una proprietà **analogica**; la trasformazione bilineare la distorce, quindi in digitale è meno netta (per fase lineare esatta in digitale si usano i FIR). **Quando**: conta la fedeltà nel dominio del tempo (impulsi, transitori, forme d'onda) più dell'attenuazione. **Casi d'uso**: catene audio/strumentazione dove l'overshoot è inaccettabile, ricostruzione di segnali a fronte ripido. ## Le cinque famiglie non sono confrontabili a frequenza fissa Prima di ogni confronto va sciolto un equivoco che manda fuori strada quasi tutti. Il campo `Fc` dello strumento **non significa la stessa cosa** per le cinque famiglie: ognuna normalizza il proprio prototipo su un bordo diverso, e all'ampiezza a `Fc` questo si vede subito. | Famiglia | Cosa significa f_c | Ampiezza a f_c | |---|---|---| | Butterworth | bordo −3 dB | −3,01 dB | | Chebyshev I | bordo del ripple di banda passante | −1,00 dB | | Chebyshev II | bordo della **stopband** | −40,00 dB | | Ellittico | bordo del ripple di banda passante | −1,00 dB | | Bessel | normalizzazione del ritardo | −7,58 dB | Quindi la domanda «quanto attenua a 2·Fc?» non ha una risposta confrontabile: si stanno misurando cinque filtri con l'origine in cinque posti diversi. Chi confronta le famiglie a frequenza fissa conclude, per esempio, che il Chebyshev II è fenomenale a ordine 2 — quando in realtà sta solo leggendo il valore che gli è stato imposto per definizione. ### Le due metriche che invece si confrontano La prima è la **larghezza di transizione**: a che multiplo di `Fc` si raggiungono i 40 dB di attenuazione. | Famiglia | N = 2 | N = 4 | N = 6 | N = 8 | |---|---|---|---|---| | Bessel | × 4,05 | × 2,52 | × 1,91 | × 1,63 | | Butterworth | × 4,05 | × 2,54 | × 1,95 | × 1,67 | | Chebyshev I | × 4,04 | × 2,07 | × 1,48 | × 1,27 | | Chebyshev II | × 1,00 | × 1,00 | × 1,00 | × 1,00 | | Ellittico | × 3,69 | × 1,46 | × 1,09 | × 1,02 | Letta così, la gerarchia è quella che ci si aspetta: l'ellittico vince (1,02·Fc a ordine 8, praticamente un muro), poi Chebyshev I, poi Butterworth e Bessel appaiati. Il Chebyshev II segna 1,00 a ogni ordine perché la sua `Fc` **è** il bordo di stopband: la riga non dice che è il più ripido, dice che la domanda è mal posta per quella famiglia. La seconda è il **pavimento di stopband**, cioè la peggiore attenuazione in tutta la banda oscura: | Famiglia | N = 2 | N = 4 | N = 6 | N = 8 | |---|---|---|---|---| | Bessel | −14,9 dB | −29,0 dB | −43,0 dB | −56,9 dB | | Butterworth | −14,1 dB | −28,0 dB | −41,9 dB | −55,9 dB | | Chebyshev I | −13,4 dB | −38,3 dB | −63,3 dB | −88,4 dB | | Chebyshev II | −40,0 dB | −40,0 dB | −40,0 dB | −40,0 dB | | Ellittico | −13,8 dB | −40,0 dB | −40,0 dB | −40,0 dB | Qui si vede la differenza strutturale fra le due metà della tabella. Butterworth, Bessel e Chebyshev I **non hanno** una specifica di stopband, quindi il pavimento scende con l'ordine — il Chebyshev I arriva a −88 dB a ordine 8. Chebyshev II ed ellittico hanno una stopband **equiripple** fissata dal parametro `Rs`: aumentare l'ordine **non** approfondisce l'attenuazione, la lascia inchiodata a −40 dB e stringe la transizione. Sono due filosofie di progetto diverse, e sceglierle a caso è il modo più comune di sprecare ordine. Un caso di frontiera vale la nota: l'**ellittico a ordine 2 non arriva a 40 dB** (segna −13,8) perché con due poli non esiste una soluzione che soddisfi contemporaneamente 1 dB di ripple e 40 dB di stopband. Non è un difetto del calcolo: è l'equazione del grado che dice che quella specifica chiede almeno l'ordine 4. ## Export CMSIS-DSP I coefficienti sono esportati per `arm_biquad_cascade_df2T_f32` di Arm: **5 valori per stadio** nell'ordine `{b0, b1, b2, a1, a2}`, con **a1 e a2 negati** rispetto alla funzione di trasferimento. CMSIS implementa infatti: $$ y[n] = b_0\,x[n] + b_1\,x[n{-}1] + b_2\,x[n{-}2] - a_1\,y[n{-}1] - a_2\,y[n{-}2] $$ Il segno meno è già incorporato nei coefficienti generati: si copia l'array `float32_t` direttamente nel firmware. ## Validazione e limiti La risposta in ampiezza di **tutte e cinque** le famiglie (LP e HP) è stata confrontata con `scipy.signal` (`butter`, `cheby1`, `cheby2`, `ellip`, `bessel` → `sosfreqz`), con tutti i poli dentro il cerchio unitario (test automatici inclusi nel repository). | Famiglia | Punto | Qui | scipy (2 decimali) | |---|---|---|---| | Butterworth | 100 Hz | −3,010 dB | −3,01 dB | | Butterworth | 200 Hz | −27,966 dB | −27,97 dB | | Chebyshev I | 200 Hz | −38,269 dB | −38,27 dB | | Chebyshev II | 200 Hz | −51,056 dB | −51,06 dB | | Ellittico | 200 Hz | −40,881 dB | −40,88 dB | | Bessel | 100 Hz | −7,578 dB | −7,58 dB | I riferimenti sono trascritti a due decimali, quindi un confronto con questa tabella non può dire più di ±0,005 dB: i millesimi di differenza sono il residuo della troncatura, non un errore del progetto. Dove esiste una forma chiusa il riferimento si calcola invece di trascriverlo, e la verifica diventa esatta. Per il Butterworth bilineare con prewarping $$ |H(f)| = \dfrac{1}{\sqrt{1 + \left(\dfrac{\tan(\pi f/f_s)}{\tan(\pi f_c/f_s)}\right)^{2N}}} $$ e a f = 2·f_c il rapporto delle tangenti vale esattamente √5, quindi il valore atteso è −10·log₁₀(1 + 5^N) = **−27,965743 dB** per N = 4 — la cifra che compare in tabella. La cascata di biquad generata **coincide con la forma chiusa a precisione macchina** su tutta la banda e per tutti gli ordini 2–8: lo verifica il test `Butterworth contro la forma chiusa`, con tolleranza 10⁻⁹ dB. Un avvertimento sul metodo, se volete rifare la verifica: il dB va valutato **esattamente** alla frequenza, non letto dal punto più vicino della griglia della risposta. A 512 punti quella lettura sbaglia di 0,09 dB a 200 Hz, venti volte la differenza che si sta cercando. L'ellittico usa l'algoritmo di Orfanidis (trasformazione di Landen per le funzioni ellittiche di Jacobi). **Limiti v0.2**: passa-basso e passa-alto, ordini pari 2–8. Bandpass/bandstop in arrivo. Cutoff `Fc` = bordo della banda passante (−3 dB per Butterworth; bordo di ripple per Chebyshev I ed Ellittico; bordo di stopband per Chebyshev II; normalizzazione del ritardo per Bessel). Strumento dimostrativo: non sostituisce gli strumenti di progetto e verifica di una toolchain DSP di produzione.