# Filtri analogici e diagramma di Bode > Filtri del 1° e 2° ordine — RC, RL, RLC e Sallen-Key — frequenza di taglio e fattore Q, come si legge un diagramma di Bode e perché si passa a una topologia attiva. Pubblicato: 2026-06-23 Aggiornato: 2026-08-25 Ambito: elettronica Riferimento normativo: Filtri analogici e diagramma di Bode Pagina: --- Un filtro fa una cosa sola: lasciar passare certe frequenze e attenuarne altre. Dietro questa frase semplice c'è la **funzione di trasferimento**, e il modo standard di leggerla è il **diagramma di Bode**. Questo strumento progetta filtri fino al 2° ordine e ne disegna il Bode; questa pagina spiega cosa guardare. ## Funzione di trasferimento e diagramma di Bode Ogni filtro è descritto da H(jω): per ogni frequenza, di quanto attenua (modulo) e di quanto sfasa (fase) il segnale. Il **diagramma di Bode** disegna queste due grandezze in funzione della frequenza, con due accorgimenti che lo rendono leggibile: l'asse delle frequenze è **logaritmico** (le decadi sono equispaziate) e il modulo è in **dB** (logaritmico anch'esso). Con queste scale le pendenze di attenuazione diventano **rette**, e si leggono a occhio. In forma normalizzata, con x = f/f₀: $$ \begin{array}{ll} H_{\mathrm{LP},1}=\dfrac{1}{1+jx} & H_{\mathrm{HP},1}=\dfrac{jx}{1+jx} \\[8pt] H_{\mathrm{LP},2}=\dfrac{1}{(1-x^2)+jx/Q} & H_{\mathrm{HP},2}=\dfrac{-x^2}{(1-x^2)+jx/Q} \\[8pt] H_{\mathrm{BP}}=\dfrac{jx/Q}{(1-x^2)+jx/Q} & H_{\mathrm{notch}}=\dfrac{1-x^2}{(1-x^2)+jx/Q} \end{array} $$ ## Frequenza naturale, e dove sta davvero il −3 dB Il riferimento attorno a cui si legge tutto è **f₀**, e conviene chiamarla col suo nome: **frequenza naturale** (o polare). La **frequenza di taglio** è un'altra cosa — il punto in cui il modulo scende di **3 dB** sotto la banda passante, cioè un fattore √2 in tensione e un **dimezzamento della potenza**. Nel primo ordine le due coincidono; nel secondo, come si vede sotto, in generale no. Per i filtri elementari: $$ \text{RC:}\ \ f_0=\dfrac{1}{2\pi R C} \qquad\qquad \text{RLC:}\ \ f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{L C}} $$ Un filtro del 1° ordine ha esattamente **−45°** di fase alla propria frequenza di taglio. Per il 2° ordine i **−90°** cadono sulla frequenza naturale f₀, che coincide col punto a −3 dB solo nel caso Butterworth (Q = 1/√2): con Q diverso le due frequenze si separano, come mostra la tabella più sotto. ### f₀ non è il taglio, tranne in un caso Nel secondo ordine il modulo vale $$ |H| = \dfrac{1}{\sqrt{(1-x^2)^2 + (x/Q)^2}}, \qquad x = f/f_0 $$ e a **x = 1** i due termini sotto radice diventano 0 e 1/Q², quindi **|H(f₀)| = Q**. Non −3 dB: Q. Il punto a −3 dB si trova risolvendo |H|² = 1/2, che con u = x² dà un'equazione di secondo grado: $$ u^2 + \left(\dfrac{1}{Q^2} - 2\right)u - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{f_{-3\text{dB}}}{f_0} = \sqrt{\dfrac{\left(2 - \frac{1}{Q^2}\right) + \sqrt{\left(2 - \frac{1}{Q^2}\right)^2 + 4}}{2}} $$ | Q | \|H(f₀)\| | f₋₃dB / f₀ | |---|---|---| | 0,5 (critico) | -6,02 dB | 0,644 | | 0,577 (Bessel) | -4,78 dB | 0,786 | | 0,7071 (Butterworth) | -3,01 dB | 1,000 | | 1 | 0,00 dB | 1,272 | | 2 | +6,02 dB | 1,485 | | 5 | +13,98 dB | 1,543 | La riga Butterworth è l'unica in cui il rapporto fa 1: **Q = 1/√2 è esattamente la condizione perché f₀ sia il taglio a −3 dB**, e non è una coincidenza — è la stessa condizione che rende la risposta massimamente piatta. Sopra, il taglio si sposta in alto e tende a 1,554·f₀ per Q → ∞; sotto, scende (a Q = 0,5 il modulo a f₀ vale già −6 dB e il taglio sta a 0,64·f₀). La conseguenza pratica è che chiedendo «taglio a 1 kHz» su un secondo ordine con Q = 2 e impostando f₀ = 1 kHz si ottiene un taglio a 1485 Hz e un picco di +6,3 dB a 935 Hz. Per questo lo strumento espone la f₀ **effettiva** come frequenza naturale, non come taglio: sono due numeri diversi e chiamarli con lo stesso nome porta a sbagliare il dimensionamento. ### Un esempio Per un passa-basso RC con taglio a 1 kHz, fissato C = 100 nF, serve R = 1/(2π·1000·100·10⁻⁹) ≈ **1591 Ω**, arrotondato al valore E24 più vicino **1,6 kΩ** (taglio reale ≈ 995 Hz). Una decade oltre il taglio, a 10 kHz, il modulo è già sceso di ~20 dB e la fase ha superato i −84°: è il comportamento asintotico del 1° ordine, −20 dB/decade e −90° al limite. ## Il fattore Q Nei filtri del **2° ordine** la frequenza di taglio non basta: serve il **fattore Q**, che governa la forma della risposta attorno al taglio. - **Q = 0.707** (1/√2) è la condizione **Butterworth**: la risposta più piatta possibile in banda passante, senza picco. - **Q > 0.707** produce un **picco di risonanza** prima del taglio e una transizione più brusca: utile per la selettività, rischioso per l'overshoot e la stabilità. - **Q < 0.707** ammorbidisce la transizione (risposta più "lenta"). In un passa-banda il Q ha un secondo significato diretto: è la **selettività**, cioè f0 diviso la larghezza di banda a −3 dB. Un Q alto = banda stretta. ## Roll-off: l'ordine conta Oltre il taglio il modulo cala con pendenza costante: **−20 dB/decade per ogni ordine**. Un 1° ordine attenua a −20 dB/decade, un 2° a −40. Ogni ordine aggiunge anche **90° di sfasamento** asintotico. Quando serve un taglio più ripido si mettono **in cascata** più stadi — ed è qui che la topologia attiva diventa comoda. ### Quanto costa un Q alto, in overshoot «Rischioso per l'overshoot» non dice quanto. Per un secondo ordine il legame fra Q e la risposta al gradino è chiuso: con ζ = 1/(2Q) l'overshoot vale exp(−πζ/√(1−ζ²)), e il picco in frequenza esiste solo per Q > 1/√2. | Q | ζ | Overshoot al gradino | Picco in frequenza | f del picco | |---|---|---|---|---| | 0,5 (critico) | 1,000 | 0,0 % | — | — | | 0,58 (Bessel) | 0,862 | 0,5 % | — | — | | 0,707 (Butterworth) | 0,707 | 4,3 % | — | — | | 1 | 0,500 | 16,3 % | +1,25 dB | 0,707·f₀ | | 2 | 0,250 | 44,4 % | +6,30 dB | 0,935·f₀ | | 5 | 0,100 | 72,9 % | +14,02 dB | 0,990·f₀ | Le due colonne dicono cose diverse e vanno lette insieme. Il **Butterworth** non ha picco in frequenza — è la definizione di massima piattezza — e tuttavia sul gradino fa **4,3 % di overshoot**: la piattezza in ampiezza non implica una risposta pulita nel tempo. Il **Bessel** scende a mezzo punto percentuale, ed è il motivo per cui lo si sceglie quando conta la forma d'onda. A Q = 2 si è al **44 %** di overshoot con soli 6,3 dB di picco: il dominio del tempo peggiora molto più in fretta di quanto il diagramma di Bode lasci sospettare, e guardando solo il modulo non si vede. ### Mettere in cascata non basta: il taglio si sposta Il punto più facile da sbagliare in pratica. Mettendo in cascata **N stadi identici** ciascuno tarato a f_c, la pendenza asintotica diventa −20·N dB/decade come previsto — ma il taglio a −3 dB **non resta a f_c**: ogni stadio contribuisce −3 dB in quel punto, quindi l'insieme è già a −3·N dB. Il nuovo taglio si trova risolvendo per il punto in cui il prodotto vale −3 dB: $$ f_{-3\text{dB}} = f_c\sqrt{2^{1/N} - 1} $$ | Stadi in cascata | Taglio complessivo | Pendenza asintotica | Pre-compensazione | |---|---|---|---| | 1 | 1,000·f_c | −20 dB/decade | 1,000·f_c | | 2 | 0,644·f_c | −40 dB/decade | 1,554·f_c | | 3 | 0,510·f_c | −60 dB/decade | 1,961·f_c | | 4 | 0,435·f_c | −80 dB/decade | 2,299·f_c | | 6 | 0,350·f_c | −120 dB/decade | 2,858·f_c | Due RC identici a 1 kHz tagliano a **644 Hz**, non a 1 kHz. Per ottenere davvero 1 kHz i due stadi vanno tarati a 1,554 kHz. Con quattro stadi il fattore è 2,3. Attenzione anche a cosa NON si ottiene: N stadi identici **non** sono un Butterworth di ordine N, che richiede poli con Q diversi fra loro (per il quarto ordine, 0,54 e 1,31). Una cascata di stadi uguali è sempre più «molle» attorno al taglio del Butterworth di pari ordine. ### Quanto sposta l'arrotondamento alla serie E La modalità progetto ricava i componenti ideali e poi li arrotonda al valore standard più vicino. Poiché la frequenza di taglio è inversamente proporzionale a R e C, l'errore relativo sul componente si trasferisce **uno a uno** sul taglio. Il caso peggiore è il valore ideale che cade nel punto medio geometrico fra due valori adiacenti della serie: | Serie | Tolleranza | Passo massimo | Errore peggiore sul taglio | |---|---|---|---| | E12 | 10 % | 1,25× | ±11,8 % | | E24 | 5 % | 1,154× | ±7,4 % | | E96 | 1 % | 1,030× | ±1,5 % | L'E12 arriva a sbagliare il taglio di quasi il **12 %**, che su un filtro anti-aliasing è tanto; l'E96 sta sotto l'1,5 %. Va sommato in quadratura con la tolleranza del componente, che è un'altra cosa: un E12 al 10 % può avere il valore nominale a 11,8 % dall'ideale **e** il pezzo reale a un altro 10 % dal nominale. Se il taglio deve stare in una finestra stretta, la serie va scelta prima della topologia — oppure si mette un trimmer. ## Sallen-Key: perché un filtro attivo Un filtro del 2° ordine passivo richiede un **induttore**. Alle frequenze audio e sotto, gli induttori sono ingombranti, costosi e lontani dall'ideale (resistenza serie, accoppiamenti). La cella **Sallen-Key** ottiene lo stesso 2° ordine con un **operazionale** e soli R e C: - niente induttori; - **impedenza d'uscita bassa**: si mettono in cascata più celle senza che uno stadio carichi il precedente; - **Q regolabile** dai rapporti dei componenti, indipendentemente dalla frequenza di taglio. È la topologia attiva più diffusa per i filtri fino al 2°/4° ordine. Lo strumento la sintetizza in modalità progetto, nella variante a R uguali. ## Modalità progetto e serie E Il design inverso parte dai **requisiti** — frequenza di taglio e, per il 2° ordine, Q — e ricava i componenti. I valori ideali non coincidono quasi mai con un valore standard, quindi si arrotonda alla **serie E** più vicina (E12/E24/E96, a tolleranza decrescente). Si fissa un componente di riferimento (il condensatore C, la resistenza R per l'RL) e si ricavano gli altri. Con ω₀ = 2π·f₀: $$ \begin{array}{ll} \textsf{RC} & R=\dfrac{1}{\omega_0 C} \\[8pt] \textsf{RL} & L=\dfrac{R}{\omega_0} \\[8pt] \textsf{RLC serie} & L=\dfrac{1}{\omega_0^{2} C},\quad R=\dfrac{1}{Q}\sqrt{L/C} \\[8pt] \textsf{RLC parallelo} & L=\dfrac{1}{\omega_0^{2} C},\quad R=Q\sqrt{L/C} \\[8pt] \textsf{Sallen-Key} & C_1=4Q^{2} C_2,\quad R_1=R_2=\dfrac{1}{\omega_0\sqrt{C_1 C_2}} \end{array} $$ ## Quale famiglia: Butterworth, Bessel, Chebyshev, ellittico A parità d'ordine, la **famiglia** (o allineamento) è il compromesso tra tre cose che non si massimizzano insieme: piattezza in banda passante, ripidità del taglio e qualità della fase / risposta al transitorio. - **Butterworth** — banda passante massimamente piatta, niente ripple, taglio e fase moderati. La scelta neutra di default. - **Bessel** — fase quasi lineare (ritardo di gruppo costante): risposta al gradino pulita, senza overshoot né ringing. In cambio il taglio più dolce. Si usa quando conta la *forma* d'onda (audio, impulsi, dati). - **Chebyshev** — taglio più ripido del Butterworth, al prezzo di un ripple in banda passante (più ripple = più ripido). Quando serve selettività e il ripple è tollerabile. - **Ellittico (Cauer)** — il taglio più ripido per un dato ordine, ma con ripple sia in banda passante sia in quella attenuata e la fase peggiore. Per banda di transizione minima. Per una cella del 2° ordine "tutta poli" (RLC, Sallen-Key) la famiglia si riduce a un valore di Q: Bessel ≈ 0.58, Butterworth = 0.707, Chebyshev > 0.707 (con ripple). L'ellittico e il Chebyshev inverso richiedono anche degli **zeri** (un notch) e non si realizzano con un Sallen-Key passa-basso elementare. Per questo lo strumento, al 2° ordine, offre Bessel/Butterworth/Chebyshev. ## Limiti - Componenti **ideali**: niente tolleranze, niente ESR/ESL dei reali, nessun carico a valle (uscita non caricata). - Il Sallen-Key usa un **operazionale ideale** (banda, guadagno e slew-rate infiniti): i limiti reali dell'opamp deformano la risposta alle alte frequenze. - Fino al **2° ordine**; ordini superiori si ottengono in cascata, non coperti qui. - Strumento dimostrativo, non un simulatore SPICE. ## Riferimenti - **Testi di teoria dei circuiti e application note sui filtri attivi** dei produttori di operazionali — il riferimento per il dimensionamento Sallen-Key, la scelta del Q e le tabelle dei filtri standard (Butterworth, Chebyshev, Bessel). - **Strumento correlato** — il [progettista di filtri con Bode](/tools/analog-filter-bode/) mette in pratica questa pagina: scegli topologia e valori e leggi taglio, Q e il diagramma di Bode, o parti dalla frequenza e ottieni i componenti.